离心铸造５—４ｎｉｓ下兰＝———＿———

　　离心率寻根焦点三角形——两个离心率公式及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。教 教 案例点评 ２０１３年６月 ｂ一 白一 角形 离心率寻根焦 ，ｂｌ、一 ——两个离心率公式及其应用 ◎安徽省太湖中学李昭平（特级教师） 我们知道，椭圆和双曲线的离心率ｅ：三是用来刻画 。

　　教 教 案例点评 ２０１３年６月 ｂ一 白一 角形 离心率寻根焦 ，ｂｌ、一 ——两个离心率公式及其应用 ◎安徽省太湖中学李昭平（特级教师） 我们知道，椭圆和双曲线的离心率ｅ：三是用来刻画 。 应该有某种关系？ 如图２，设双曲线的方程为 两种曲线形状的主要标尺之一，而椭圆和双曲线的焦点 三角形中的三边又与两种曲线方程中的ａ，ｂ，ｃ密切相关， 三一．乓：：１（ｏ＞ｏ，６＞ｏ），Ｆ１、Ｆ２是左 旷 ５‘ 这就自然引发我们的思考：两种曲线的离心率ｅ：三与焦 ａ 右焦点．点腥双曲线左支上除顶 点夕｝的任一点，且二ＰＦｌＲ＝ｄ， 图２ 点三角形中的边角之间会有怎样的关系呢？ 一、椭圆的离心率公式 ，Ｊ ｋ ［ＰＦ：Ｆ，＝１３测器＝面ＩＰＦｚＩ＝丽ＩＦ，Ｆ２Ｉ 、Ｉ飓Ｉ—Ｉ魁Ｉ ｓｉｎ Ｏｌ—ｓｉｎ口 ２０ 如图１，设椭圆的方程为芝＋ 旷 吾＝１（。＞６＞ｏ），一、Ｒ是左右焦点． 点Ｐ是椭圆上除长轴上两个顶点 ＼Ｅ 歹 个， ＼ ０ Ｐ ｌ—ＲＩ ｓｉｎ（ｄ弗） ２ｃ 乡１ ＝亨——＝———－——一 ｓｉｎ（ａ邯） ｓｉｎ ０１一ｓｉｎ届 图１ Ｃ ｎ 外的任意一点，且［魁皓ｄ，ＬＰＦ２ＦＩ－帮， 则盟：坚堕：盟 ｓｉｎ（ｎ弗） ｓｉｎ ａ—ｓｉｎ ，、２ｓｉｎ堂ｃｏｓ堂ｓｉｎ ａ＋ｆ１． ｆｌ ａ＋ｆｌ ｓｉｎ堂ｓｉｎ ａ－ｆ１． ２ ２ ２ ２ｃｏｓ ２ ２ ２ ＝：３～＝一 ｊ——＝—— 。ｓｉｎ卢 ｓｉｎａ ｓｉｎ（ｄ弗） ．Ｉ魍Ｉ＋Ｉ腹Ｊ ｓｉｎｆｌ＋ｓｉｎ ２ａ ａ 当点Ｐ是双曲线右支上除顶点外的任一点时，同理 Ｓ１ｎ—————二一 ＩＥ足ｆ ｓｉｎ（ａ弗） ２ｃ ．ｄ＋／３ ｓｉｎ斛ｓｉｎ Ｃ 可蠕拈１ｉｚ ａ邯 ＣＯＳ——Ｌ ２ ２ ２ ａ ｓｉｎ（ａ＋母） Ｓ１ｎ：。。。‘＋’。。。。。一 ２ ＝亨ｅ＝——＝——————二＿一＝一＝一． ｓｉｎ（ａ弗） ＾．ｄ书 ｄ部 Ｚｓｉｎ——’－ＣＯＳ——二 口ｓｉｎ 对于焦点在Ｙ轴上的双曲线，以上两式也成立．于是 ．ｄ“； Ｓｌｎ————二一 １３＋ｓｉＭ ２ｓｉｎ堂ＣＯＳ盟ｃｏｓ盟 ２ ２ ２ 当椭圆的焦点在Ｙ轴上时，同理可推出上式．于是就 ａ＋Ｂ ＣＯＳ————２一 就得到双曲线的另一个离心率公式：ｅ。＿＿Ｔｉ２丌，其中 Ｓｌｎ’二——２～ ２ 得到椭圆的另一个离心率公式：ｅ＝—之，其中点Ｐ是 ａ－／Ｊ ＣＯＳ。。。。。。。。。。。。：～ ２ 点ｆ是双曲线上除顶点外的任一点．也就是说，双曲线的 离－ｌ’率由焦点三角形中任意的两个角确定． 椭圆上除长轴上两个顶点外的任一点．也就是说，椭圆的 离心率由焦点三角形中任意的两个角确定． 憾２冱２ ２ ＣＯＳ———２一 ａ十母 ＣＯＳ——二＿ 与公式ｅ２河２ Ｓｌｎ———』一 ．ａ斗口 的结构非常相 Ｓｌｎ＿二——二—二 ２ 二、双曲线的离心率公式 由椭圆联想到双曲线，类比椭圆的离心率公式，猜想 似，充分体现了两种曲线内在规律的统一性、和谐性． 三、两个公式的应用举例 上述两个公式反映了两种曲线的离心率与它们的焦 双曲线的离心率ｅ＝三与它的焦点三角形中的两个角也 ａ ＩＩＩ薯Ｉ＿蠢中?？毒ｉ：?７高中版 万方数据 ２０１３年６月 案例点评 材 法 点三角形的角之间的本质联系，这就为求解某些与离心 率和焦点三角形有关的椭圆、双曲线问题提供了新思路、 新途径、新方法．灵活运用这两个公式，往往能收到事半 功倍之效． 因此椭圆的方程为琶＋詈＝１． 变式：若将例２中的椭圆改为双曲线，其他 ｓｉｎ』｝ ｊ． 右隹１１占＝麓／ＰＦ＿１（痧一№、慧狮……脯潮拈鑫删， 右焦点．点脏双曲线上，且 此双曲线。，求 解析：因为￡腿皓１５。，［尼Ｐ一－－９０。，所以￡Ｐ啊＝ ７５ ｏ． ．一 ｎ 由双曲线的离心率公式ｅ＝ 一 Ｓ 一洫一●Ｉ一 兰孚 一 ２ 得 Ｐ＝一＝——＝——。＝Ｖ ｓｉｎ ３００ ｓｉｎ—３００＋—９０。 。：：一Ｌ一：—ｓｉｎ—６０。：皇三一２订． ．Ｉ ３０。一９００ｌ ２ 龇ｎ—１■一 又因为离心率ｅ：一Ｃ：—ｘｖｑＹ—而， ２ｘ／３ ａ Ｓｌｎ一 变式：若将例１中的双曲线改为椭圆吾＋吾＝ｌ（跏＞ｏ）， Ｖ二． 订． ｅ２一三！：。５—４ｎｉｓ下兰＝———＿——————ｉ一＝——＝——’２ ３０。 ．Ｉ １５０一７５０ｌ ｓｉｎ Ｓ１ｎ一 ２ 所以旦！堡生：、／了，解得ｍ：２４． ２ｘ／３ 因此双曲线设点Ｐ是双曲线为双曲 线的两个焦点，且／－Ｆ。ＰＦ２＝６０。，求￡Ｐ—Ｒ和［矾一的大 小． ＣＯＳ——Ｌ 其他条件不变，则由椭圆的离心率公式ｅ＝——三二－得 ｄ—Ｄ Ｏｔ十８ ＣＯＳｌ。。。。。。。。。。。！ｏ 解析：双曲线，焦点在 ｙ轴上，且矛：１，ｂ２＝２，ｃｚ：３，所以双曲线的离心率ｅ＝三＝ Ｖ了． 设￡Ｐ—Ｒ＝ａ，［尸ｆ狐邛，贝０ａ＋／３＝１２０。，ａ－－／３＝ａ－１２０。＋ ａ＝２ａ一１ ２００ 的焦点为Ｒ、疋，过点足的弦 ＰｌＰ２ Ｊ＿菇轴，交椭圆于Ｐ１、Ｐ２两点， ∞８丁ｃｏ。４５。佰 Ｐ＝一＝一＝一． ＵＵｂ一 例２如图３，椭圆１１２＋兰＝ｌ ／，歹 铃。 巡 妙１ １５０＋７５０ １５０一７５。 ２ ２ ＣＯＳ（一３０。） ３ ，Ｊ Ｌ ．０［＋８ Ｐ２ 若△ＰｌＥＰ２为等边三角形，求椭 圆的方程． 图３ 解析：对焦点三角形ＡＰ，Ｆ１Ｆ握＿用椭圆的离心率公式 由双曲线。．于是垫ｓｉｎ ｏｒ盟－６０。［＝订， 仁忑丽一定——叫“ ２ Ｓｌｎ————２一 可以得到， 忙ｊ毒得至ｌｊｅ＝３０。而Ｚ，２而ＣＯＳ ＯＵ－一２‘万２ ∞８—产，。 ＣＯＳ——上一 ∞８——＿一 ＣＯＳ——＿＝—一 ｓｉｎ［ａ一６０。Ｉ＝—：１－，ａ一６０。＝±３０。，ａ＝９０。或仅＝３０ ｏ． ６０ｎ １ ２ ’ 。 因此厶眠Ｒ和／ＰＦｚＦ。分别为９０。、３０。或３０。、９０。． 变式：若将例３中的双曲线，其他条 义！ 件不变，则椭圆的标准方程是戈：＋芒＝１，焦点在ｙ轴上，且 又因为离心率ｅ：一Ｃ：立尘笔兰， 赤２．ｂ２＝ｌ，ｃ２＝１．所以椭圆的离心率ｅ：三：上． ａ 所以雩：立箬，解得ｍ：８． 万方数据 、／２ 设／＿ＰＦｌＦ：＝ｏｔ，［Ｐ啊印，则仅书＝１２０。，ａ－－ｆｌ＝ａ－１２０。＋ Ｏｌ＝缸一１２００． 高中版中?？擞?？——ｌ一 教 教 案例点评 ２０１３年６月 一个距离，多重应用 ◎省扬州市邗江区公道中学何长林刘 ◎省扬州市邗江区教育局许兴震 勤 直线与圆在平面解析几何乃至整个高中数学中都占 有重要的地位，也是高考必考的重点内容之一．本文主要 研究圆的弦心距在直线与圆中的多重应用． 点评：本题是涉及弦长求直线方程问题，我们利用 弦心罡！与半弦长的平方和等于半径的平方来处理就较 为简矗ｉ． 一、处理有关圆的弦长问题 例１ 三、求轨迹方程 例３ （２０１０年四川理数１４）直线，直线相交于Ａ、Ｂ两点，则ＩＡＢｌ＝一 得ＩＡＢｌ＝２、／了． 圆Ｃ桂交于Ａ、Ｂ两点，求弦ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程，并说 明其轨迹是什么曲线． 解析：由题意直线）． 解析：圆心为（ｏ，０），半径为２、／丁． 。、／甬砑 故ｆ掣）ｚ＋（Ｖ＇５－）２＝（２Ｖ＇２－）２ 圆心到直线＝ｏ的距离为ｄ：—坠坐！三Ｌ：、／了， 设』ｌｆ（ｚ，Ｙ），此时△∞伊是以［Ｃ仰为直角的直角三 角形． 则有Ｃ肥＋胛ｚ＝Ｃｐ ２ 点评：对于处理有关圆的弦长问题时．我们一般利用 弦心距与半弦长的平方和等于半径的平方来处理． ：ｊ［（戈＿０）２＋（ｙ一１）２］＋［（菇一１）２＋（ｒ１）２］＝（１＿０）２＋（１－１ ２ ：：》［石２＋严一勿＋１］＋［戈２—２鬈＋１＋产２ｙ＋１］＝ｌ ：辛氖２－如＋２严—何＋２＝０ 二、求直线＿鬈＋产２ｙ＋ｌ＝Ｏ 引ｉ茗一÷）２＋（广１）２－了１． 昕以其轨迹是一个圆． 点评：本题是求一个与弦有关的轨迹１＂－３题．我们先得 到直线），再利用直角三 Ａ、曰两点，且弦Ａ曰的长为２、／了，则直线方程为——一 解析：由题意知圆心（１，２）到直线．因此直线 角形吼ｒＰ中的勾股定理来处理即可． ａ韬 ＣＯＳ＿■ 由椭圆的离心率公式ｅ＝——三ｉ得到， ａ－１Ｂ 以上我们对表示椭圆、双曲线重要特征的离心率 和焦点三角形的关系进行思考与探究，利用两种曲线 ＣＯＳ 的定义和正弦定理推导出两个离心率公式，融联想、类 比、证明、应用、变式于一体，有效锤炼了学生的数学思 维．激发了学生的学习热情．同时，掌握了这两个公式， 有助于高考中类似问题的快速解决．这给我们的启示 是：研究性学习的素材很丰富，关键在于我们教师在日 常孝！学中善于思考、善于发掘、善于利用，真正提高学 生自Ｉ数学水平．■ ６００ ＣＯＳ（ｏｌ－６０。） 于是意ＣＯＳ ａ籍－６０ 。）、厅。 ２击，ｃｏ如瑚啦半舻６００ （ ２ ＝±４５０ ａ＝１０５。或ｏｔ＝１５０，ｆｌ＝１５。 ｏ 因此［ＰＦＩＲ和［眠一分别为１０５。、１５０或１５０、１０５０． ———ｌ中?？擞－７高中版 万方数据
以上信息由江苏亚立特钢有限公司整理编辑，了解更多离心铸造信息请访问http://www.jsyltg.com